Phyllotaxis or the properties of spiral lattices. III. An algebraic model of morphogenesis

(Received 23 July 1992, revised 22 May 1992, accepted 24 July 1992)

Abstract
A phyllotactical pattern such as the arrangement of the scales of a fir-cone originates along a thin ring surrounding a local center of growth. We study a simple model of the morphogenesis of such a botanical structure by considering algebraic relations between permutations of the n first natural numbers, each number corresponding to the birth order of a given scale or leaf. This model allows to define a divergence angle in a natural way. The possible values of the divergence can be classified according to a hierarchical structure which places the noble numbers in a prominent position. This construction is similar to the Farey-tree obtained in the study of lattices of tangent circles aligned along equiangular spirals.

Résumé
Une structure phyllotactique comme celles que constituent les écailles d'une pomme de pin prend naissance sur un étroit anneau apical qui entoure un centre local de croissance. On étudie un modèle simple de la morphogenèse d'une telle formation en établissant des relations algébriques entre permutations des n premiers nombres naturels, chaque nombre correspondant à l'ordre d'apparition d'une écaille ou d'une feuille. Ce modèle conduit à la définition naturelle d'une divergence. Les valeurs que peut prendre cette divergence s'ordonnent en une structure hiérarchique qui met en évidence le rôle des nombres nobles. Il y a parenté évidente avec l'arbre de Farey que l'on obtient en classant les réseaux de cercles tangents alignés le long de spirales équiangulaires.