Numéro
J. Phys. I France
Volume 5, Numéro 11, November 1995
Page(s) 1417 - 1429
DOI https://doi.org/10.1051/jp1:1995207
DOI: 10.1051/jp1:1995207
J. Phys. I France 5 (1995) 1417-1429

Topologiacl Models of 2D Fractal Cellular Structures

G. Le Caër1 and R. Delannay2

1  Laboratoire de Science et Génie des Matériaux Métalliques associé au C.N.R.S., U.R.A 159, Ecole des Mines, F-54042 Nancy Cedex, France
2  Laboratoire d'Energétique et de Mécanique Théorique et Appliquée associé au C.N.R.S., U.R.A. 875, Ecole des Mines, F-54042 Nancy Cedex, France


(Received 5 January 1995, revised 7 June 1995, accepted 8 August 1995)

Abstract
In space-filling 2D cellular structures with trivalent vertices and in which each cell is constrained to share at most one side with any cell and no side with itself, the maximum fraction of three-sided cells is produced by a decoration of vertices of any initial structure by three-sided cells. Fractal cellular structures are obtained if the latter decoration process is iterated indefinitely. Other methods of constructions of fractal structures are also described. The probability distribution P(n) of the number n of cell sides and some two-cell topological properties of a 2D fractal cellular structure constructed from the triangular Sierpinski gasket are investigated. On the whole, the repartition of cells in 2D structures with $n \geq 3$ and $P(3) \ne 0$ evolve regularly when topological disorder, conveniently measured by the variance $\mu_{2}$ of P(n), increases. The strong correlations which exist among cells, in particular in natural structures $(\mu_{2}\lesssim 5)$, decrease progressively when $\mu_{2}$ increases, a cell repartition close to a random one being reached for $\mu_{2}\sim 12$. We argue that the structures finally evolve to fractal structures (for which $\mu_{2}$ is infinite) but we have not characterized the latter transition.

Résumé
Dans des structures cellulaires 2D à sommets trivalents qui remplissent l'espace et dans lesquelles une cellule partage au plus un côté avec toute autre cellule et aucun avec elle-même, la proportion maximum admissible de cellules à trois côtés est obtenue par une décoration de tous les sommets d'une structure initiale quelconque par des cellules à trois côtés. Des structures cellulaires "fractales" 2D sont ainsi engendrées si le processus précédent est répété à l'infini. D'autres méthodes de constructions de structures fractales sont également décrites. La distribution de probabilité P(n) du nombre n de côtés des cellules ainsi que des corrélations de paires sont étudiées pour une structure cellulaire fractale construite à partir du tamis de Sierpinski. Au total, la répartition des cellules dans les structures cellulaires 2D avec $n \geq 3$ et $P(3) \ne 0$ évolue de manière régulière lorseque le désordre topologique, commodément représenté par la variance $\mu_{2}$ de P(n), s'accroît. Les fortes corrélations qui existent entre les cellules, en particulier dans les structures naturelles $(\mu_{2}\lesssim 5)$ diminuent progressivement quand $\mu_{2}$ augmente, la répartition des cellules étant proche d'une répartition aléatoire pour $\mu_{2}\sim 12$. Enfin les structures évolueraient vers des structures fractales, pour lesquelles $\mu_{2}$ est infini, mais cette dernière transition reste encore à caractériser.



© Les Editions de Physique 1995

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