On Some New Properties of Binary Tilings

Abstract
We show that one of the binary tilings introduced by Lançon & Billard (LB1) tends asymptotically towards an "universal" random tiling of decagonal symmetry, whatever the starting tiling may be, after an infinite sequence of random decorations preserving the LB1 structural properties; the successive steps of the sequence are described in terms of random substitution matrices. The universal character of the asymptotic tiling reveals in particular in: - the existence of a well-defined intensive variable which measures the proportion of pairs of nearest neighbors of atoms of different species which belong to pairs o contiguous "fat" tiles F, - its very characteristic Fourier transform, and - finite size fluctuations. Our results rely on a series of extensive Monte-Carlo simulations and on analytic calculations of the statistics of the tilings (e.g. ) at different stages n of the substitution process. All these calculations concerns the sole entropy properties, which simplification is justified by the well known fact that binary tilings are degenerate for Lennard-Jones interactions between nearest-neighbors. A direct calculation of the entropy yields a value of slightly different from the value obtained by the analytic method above, by an amount of . We suggest that the difference is due to long-range correlations which are not taken into account in the direct calculation as well as some specific ergodicity properties of our "microcanonical" ensemble of tilings realizations, which reveal for example in the non-abelian properties of the finite size fluctuations, and which remain to be studied in any case.

Résumé
Nous montrons que l'un des pavages binaires de Lançon & Billard (LB1) a une limite asymptotique "universelle", c'est-à-dire ne dépendant pas du pavage de départ, sous l'effet d'une séquence infinie de substitutions aléatoires (décrites par une matrice de transfert aléatoire) qui préservent son caractère LB1. Le caractère universel du pavage asymptotique se révèle, en particulier par : - l'existence d'une variable intensive qui mesure le nombre de paires d'atomes de types différents appartenant à des paires de tuiles "épaisses" contiguës F, - son spectre de Fourier caractéristique, de symétrie décagonale, - ses fluctuations de taille finie. Nos résultats s'appuient sur une série très détaillée de simulations Monte-Carlo et sur des calculs analytiques de la statistique des pavages (par exemple le calcul de ) en fonction du rang n du processus de substitution. Tous ces calculs concernent les seules propriétés entropiques, ce qui se justifie par le fait bien connu que les pavages binaires sont dégénérés pour des interactions Lennard-Jones limitées aux proches voisins. Un calcul direct de l'entropie conduit à une valeur de légèrement différente de celle obtenue par la méthode analytique ci-dessus évoquée ( .