DOI: 10.1051/jp1:1993221
J. Phys. I France 3 (1993) 1921-1939

Fractal atomic surfaces of self-similar quasiperiodic tilings of the plane

C. Godrèche¹, J. M. Luck², A. Janner³ and T. Janssen<sup>3

1</sup>  Service de Physique de l'État Condensé, Centre d'Études de Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France
²  Service de Physique Théorique, Centre d'Études de Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France
³  Institute for Theoretical Physics, University of Nijmegen, Toernooiveld 1, 6525 ED Nijmegen, The Netherlands

(Received 1 February 1993, accepted 19 May 1993)

Abstract
We consider in parallel three self-similar quasiperiodic tilings of the plane with eight-fold symmetry, made of two prototiles, the square and the 45-degree rhomb. They possess the same inflation rules up to a reordering of the tiles. We study the consequences of this reordering on the nature of the atomic surfaces, or acceptance domains, and on the Fourier spectra of the tilings. For two of the tilings the atomic surface has a fractal boundary. For one of them it is not a connected set. We argue that the situation described in this paper is generic.

Résumé
Nous considérons en parallèle trois pavages quasipériodiques auto-similaires du plan, de symétrie de rotation d'ordre huit, et constitués des deux mêmes tuiles : le carré et le losange à 45 degrés. Les trois pavages sont décrits par les mêmes règles d'inflation, à une permutation des tuiles près. Nous étudions l'influence de cette permutation sur les surfaces atomiques, ou domaines d'acceptance, et sur les spectres de Fourier des pavages. Le bord de la surface atomique de deux des pavages est fractal ; pour l'un d'entre eux ce bord n'est pas connexe. Les propriétés décrites sur cette famille d'exemples sont vraisemblablement génériques.

© Les Editions de Physique 1993