Dyson's equations for the (Ising) spin-glass

(Received 28 March 1994, accepted in final form 7 June 1994)

Abstract
A complex problem is solved here; we show how to write Dyson's equations for the (Ising) spin-glass that relate the propagator G to the mass operator M. In other words we are able to reduce the inversion of an ultrametric matrix M to the solution of a Dyson's equation in all sectors (for the replicon sector the result had already been derived). It turns out that what renders the problem tractable is using, instead of the components of G (or M), an object called here the "kernel" from which one can deduce the components themselves after dressing it with ultrametric weights and summing over eigenvalue indices with their appropriate multiplicity. Dyson's equations are then established as stationarity equations of tr In M - tr GM, where the kinetic terms are incorporated in M. At each stage we illustrate the calculation by providing explicit answers for the bare system (meau field in M). In particular the introduction of the "kernel" allows us to construct the bare propagator for a Lagrangean where one retains all quartic invariants. The case of the system in a magnetic field is also treated.

Résumé
Un problème complexe est résolu ici: nous établissons pour le verre de spin d'Ising, les équations de Dyson qui relient le propagateur G à l'opérateur de masse M. En d'autres termes nous réduisons l'inversion d'une matrice ultramétrique M à la solution d'équations de Dyson, et ceci dans tous les secteurs (ce résultat avait déjà été établi dans le secteur du replicon). Ce qui rend ce problème abordable, c'est l'introduction en lieu et place des composantes de G (ou M), d'un objet appelé le "noyau" d'où les composantes pourront se déduire après habillage ultramétrique et somme sur les indices de valeurs propres pondérées par leur multiplicité. Les équations de Dyson sont alors établies comme équations de stationnarité de tr In M-tr GM, où les termes cinétiques sont incorporés dans M. A chaque étape, le calcul est illustré par le résultat explicite pour le système nu (champ moyen pour M). En particulier l'introduction du "noyau" permet de construire les propagateurs nus pour un lagrangien comportant tous les invariants quartiques. Enfin le système en présence d'un champ magnétique est aussi résolu.