Symmetries of lattice models in statistical mechanics and eitective algebraic geometry

(Received 20 March 1992, accepted 6 April 1992)

Abstract
The elliptic parametrization of the symmetric eight-vertex model and its generalizations (sixteen-vertex models) is revisited, underlying the role played by a "pre-Bethe Ansatz" condition closely related to the quadratic Frobenius relation on theta functions. This relation corresponds to an intertwining of two identical elliptic curves y₂ = P₃(z) = 4z³ - g₂z - g₃. Explicit expressions for various quantities associated to the elliptic functions ( g₂, g₃, modulus of the elliptic functions .... ) are given. One concentrates on subcases of the sixteen-vertex model for which the three roots of P₃(z) can be given explicitly in a simple form. Moreover, two algebraic subvarieties of the Baxter model, for which complex multiplication occurs, are given explicitly. The various symmetries occurring in these models are understood in the light of effective algebraic geometry. We show that there is a close relation between the physics of the problems and the symmetries and transformations acting on the algebraic varieties parametrizing the models.

Résumé
Nous rééxaminons la paramétrisation du modèle à huit vertex symétrique et ses généralisations (modèles à seize-vertex) , en soulignant le rôle joué par une "pre-Ansatz de Bethe" reliée aux relations quadratiques de Frobenius sur les fonctions thêtas. Cette relation correspond à une relation d'entrelacement de deux courbes elliptiques identiques, y₂ = P₃(z) = 4z³- g₂z - g₃. Diverses expressions explicites de quantités associées aux fonctions elliptiques sont données. Nous considérons, tout particulièrement, les sous-cas du modèle à seize-vertex pour lesquels les trois racines de P₃(z) peuvent être données explicitement par une expression simple. De plus, deux sous-variétés algébriques pour lesquelles apparaît une multiplication complexe sont données explicitement sur l'exemple du modèle de Baxter. Les diverses symétries de ces modèles sont examinées à la lumière de la géométrie algébrique effective. Nous montrons qu'il existe une relation étroite entre la physique des modèles et les symétries et transformations agissant sur les variétés algébriques les paramétrisant.