Numéro
J. Phys. I France
Volume 3, Numéro 10, October 1993
Page(s) 2099 - 2113
DOI https://doi.org/10.1051/jp1:1993234
DOI: 10.1051/jp1:1993234
J. Phys. I France 3 (1993) 2099-2113

A classification of the periodic directions in the rational approximants of icosahedral quasicrystals

Ovidiu Radulescu

Laboratoire de Minéralogie-Cristallographie, Université Paris 6, Tour 26-16, 4 Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France


(Received 12 February 1993, revised 20 April 1993, accepted 10 June 1993)

Abstract
This paper shows that there are three types of periodic directions in the rational approximants of an icosahedral quasicrystal : weakly, planar and strongly periodic directions. The classifying criteria take into account the periodicity properties of these directions in the direct and the reciprocal space, as well as the existence of atomic planes and atomic rows, orthogonal, respectively parallel to these directions. The set of periodic directions of all the possible rational approximants are module directions in the icosahedral Z-module which is the " Bravais " lattice of the icosahedral quasicrystal. These module directions belong to some compatibility classes, which are indexed by the series of square-free numbers of the form $5\, x^2 -y^2$, x, $y\in \mathbb{Z} $.

Résumé
Cet article montre qu'il y a trois types de directions périodiques dans les approximants rationnels des quasicristaux icosaédriques : les directions périodiques faibles, planaires et fortes. Les critères de classification tiennent compte des propriétés de périodicité de ces directions dans l'espace direct et réciproque et aussi de l'existence de plans et de rangées atomiques, respectivement orthogonaux et parallèles à ces directions. L'ensemble de directions périodiques de tous les approximants rationnels possibles est inclus dans l'ensemble des directions du module icosaédrique qui est le réseau " Bravais " du quasicristal. Les directions de ce module sont divisées en classes de compatibilité, qui peuvent être indexées par la série de nombres libres de carrés et de la forme $5\, x^2 -y^2$, x, $y\in \mathbb{Z} $.



© Les Editions de Physique 1993