DOI: 10.1051/jp1:1994233
J. Phys. I France 4 (1994) 863-881

The Black-Scholes option pricing problem in mathematical finance: generalization and extensions for a large class of stochastic processes

Jean-Philippe Bouchaud¹ and Didier Sornette<sup>2

1</sup>  Service de Physique de l'Etat Condensé, CEA-Saclay, 91191 Gif sur Yvette Cedex, France
²  Laboratoire de Physique de la Matière Condensée, Université de Nice-Sophia Antipolis, B.P. 70, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2, France

(Received 18 January 1994, accepted 16 February 1994)

Abstract
The ability to price risks and devise optimal investment strategies in thé présence of an uncertain "random" market is thé cornerstone of modern finance theory. We first consider thé simplest such problem of a so-called "European call option" initially solved by Black and Scholes using Ito stochastic calculus for markets modelled by a log-Brownien stochastic process. A simple and powerful formalism is presented which allows us to generalize thé analysis to a large class of stochastic processes, such as ARCH, jump or Lévy processes. We also address thé case of correlated Gaussian processes, which is shown to be a good description of three différent market indices (MATIF, CAC40, FTSE100). Our main result is thé introduction of thé concept of an optimal strategy in the sense of (functional) minimization of the risk with respect to the portfolio. If the risk may be made to vanish for particular continuous uncorrelated 'quasiGaussian' stochastic processes (including Black and Scholes model), this is no longer the case for more general stochastic processes. The value of the residual risk is obtained and suggests the concept of risk-corrected option prices. In the presence of very large deviations such as in Lévy processes, new criteria for rational fixing of the option prices are discussed. We also apply our method to other types of options, `Asian', `American', and discuss new possibilities (`doubledecker'...). The inclusion of transaction costs leads to the appearance of a natural characteristic trading time scale.

Résumé
L'aptitude à quantifier le coût du risque et à définir une stratégie optimale de gestion de portefeuille dans un marché aléatoire constitue la base de la théorie moderne de la finance. Nous considérons d'abord le problème le plus simple de ce type, à savoir celui de l'option d'achat `européenne', qui a été résolu par Black et Scholes à l'aide du calcul stochastique d'Ito appliqué aux marchés modélisés par un processus Log-Brownien. Nous présentons un formalisme simple et puissant qui permet de généraliser l'analyse à une grande classe de processus stochastiques, tels que les processus ARCH, de Lévy et ceux à sauts. Nous étudions également le cas des processus Gaussiens corrélés, dont nous montrons qu'ils donnent une bonne description de trois indices boursiers (MATIF, CAC40, FTSE100). Notre résultat principal consiste en l'introduction du concept de stratégie optimale dans le sens d'une minimisation (fonctionnelle) du risque en fonction du portefeuille d'actions. Si le risque peut être annulé pour les processus `quasi-Gaussien' non-corrélés, dont le modèle de Black et Scholes est un exemple, cela n'est plus vrai dans le cas général, le risque résiduel permettant de proposer des coûts d'options "corrigés". En présence de très grandes fluctuations du marché telles que décrites par les processus de Lévy, de nouveaux critères pour fixer rationnellement le prix des options sont nécessaires et sont discutés. Nous appliquons notre méthode à d'autres types d'options, telles que `asiatiques', `américaines', et à de nouvelles options que nous introduisons comme les `options à deux étages'... L'inclusion des frais de transaction dans le formalisme conduit à l'introduction naturelle d'un temps caractéristique de transaction.

© Les Editions de Physique 1994