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J. Phys. I France
Volume 4, Numéro 6, June 1994
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Page(s) | 863 - 881 | |
DOI | https://doi.org/10.1051/jp1:1994233 |
J. Phys. I France 4 (1994) 863-881
The Black-Scholes option pricing problem in mathematical finance: generalization and extensions for a large class of stochastic processes
Jean-Philippe Bouchaud1 and Didier Sornette21 Service de Physique de l'Etat Condensé, CEA-Saclay, 91191 Gif sur Yvette Cedex, France
2 Laboratoire de Physique de la Matière Condensée, Université de Nice-Sophia Antipolis, B.P. 70, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2, France
(Received 18 January 1994, accepted 16 February 1994)
Abstract
The ability to price risks and devise optimal investment strategies
in thé présence of an uncertain "random" market is thé cornerstone of
modern finance theory. We first consider thé simplest such problem of
a so-called "European call option" initially solved by Black and Scholes
using Ito stochastic calculus for markets modelled by a log-Brownien
stochastic process. A simple and powerful formalism is presented which
allows us to generalize thé analysis to a large class of stochastic
processes, such as ARCH, jump or Lévy processes. We also address thé
case of correlated Gaussian processes, which is shown to be a good
description of three différent market indices (MATIF, CAC40, FTSE100).
Our main result is thé introduction of thé concept of an optimal
strategy in the sense of (functional) minimization of the risk with
respect to the portfolio. If the risk may be made to vanish for
particular continuous uncorrelated 'quasiGaussian' stochastic
processes (including Black and Scholes model), this is no longer
the case for more general stochastic processes. The value of the
residual risk is obtained and suggests the concept of risk-corrected
option prices. In the presence of very large deviations such as in
Lévy processes, new criteria for rational fixing of the option prices
are discussed. We also apply our method to other types of options,
`Asian', `American', and discuss new possibilities (`doubledecker'...).
The inclusion of transaction costs leads to the appearance of a natural
characteristic trading time scale.
Résumé
L'aptitude à quantifier le coût du risque et à définir une stratégie
optimale de gestion de portefeuille dans un marché aléatoire constitue
la base de la théorie moderne de la finance. Nous considérons d'abord
le problème le plus simple de ce type, à savoir celui de l'option d'achat
`européenne', qui a été résolu par Black et Scholes à l'aide du calcul
stochastique d'Ito appliqué aux marchés modélisés par un processus
Log-Brownien. Nous présentons un formalisme simple et puissant qui
permet de généraliser l'analyse à une grande classe de processus
stochastiques, tels que les processus ARCH, de Lévy et ceux à sauts.
Nous étudions également le cas des processus Gaussiens corrélés, dont
nous montrons qu'ils donnent une bonne description de trois indices
boursiers (MATIF, CAC40, FTSE100). Notre résultat principal consiste
en l'introduction du concept de stratégie optimale dans le sens d'une
minimisation (fonctionnelle) du risque en fonction du portefeuille
d'actions. Si le risque peut être annulé pour les processus
`quasi-Gaussien' non-corrélés, dont le modèle de Black et Scholes
est un exemple, cela n'est plus vrai dans le cas général, le risque
résiduel permettant de proposer des coûts d'options "corrigés".
En présence de très grandes fluctuations du marché telles que
décrites par les processus de Lévy, de nouveaux critères pour
fixer rationnellement le prix des options sont nécessaires et
sont discutés. Nous appliquons notre méthode à d'autres types
d'options, telles que `asiatiques', `américaines', et à de
nouvelles options que nous introduisons comme les `options à
deux étages'... L'inclusion des frais de transaction dans le
formalisme conduit à l'introduction naturelle d'un temps
caractéristique de transaction.
© Les Editions de Physique 1994