Statistical mechanics and visual signal processing

(Received 27 January 1994, accepted in final form 28 July 1994)

Abstract
We show how to use the language of statistical field theory to address and solve problems in which one must estimate some aspect of the environnent from the data in an array of sensors. In the field theory formulation the optimal estimator can be written as an expectation value in an ensemble where the input data act as external field. Problems at low signal-to-noise ratio can be solved in perturbation theory, while high signal-to-noise ratios are treated with a saddle-point approximation. These ideas are illustrated in detail by an example of visual motion estimation which is chosen to model a problem solved by the fly's brain. The optimal estimator bas a rich structure, adapting to various parameters of the environnent such as the mean-square contrast and the corrélation time of contrast fluctuations. This structure is in qualitative accord with existing measurements on motion sensitive neurons in the fly's brain, and the adaptive properties of the optimal estimator may help resolve conficts among different interpretations of these data. Finally we propose some crucial direct tests of the adaptive behavior.

Résumé
Nous montrons comment employer le langage de la théorie statistique des champs pour poser et résoudre des problèmes où l'on doit estimer une caractéristique de l'environnement à l'aide de données provenant d'un ensemble de détecteurs. Dans ce formalisme, l'estimateur optimal peut être écrit comme la valeur moyenne d'un opérateur, l'ensemble des données d'entrée agissant comme un champ externe. Les problèmes à faible rapport signal-bruit sont résolus par la théorie des perturbations. La méthode du col est employée pour ceux à haut rapport signal-bruit. Ces idées sont illustrées en détails sur un modèle d'estimation visuelle du mouvement basé sur un problème résolu par la mouche. L'estimateur optimal a une structure très riche, s'adaptant à divers paramètres de l'environnement tels la variance du contraste et le temps de corrélation des variations de contraste. Cette structure est en accord qualitatif avec les résultats d'expériences sur des neurones du système visuel de la mouche. De plus, les propriétés d'adaptation de l'estimateur optimal peuvent aider à résoudre certains désaccords au sujet de l'interprétation de ces résultats. Nous proposons finalement quelques tests directs de ces propriétés d'adaptation.