Glauber Dynamics in a Zero Magnetic Field and Eigenvalue Spacing Statistics

Abstract
We discuss the eigenvalue spacing statistics of the Glauber matrix for various models of statistical mechanics (a one dimensional Ising model, a two dimensional Ising model, a one dimensional model with a disordered ground state, and a SK model with and without a ferromagnetic bias). The dynamics of the one dimensional Ising model are integrable and the eigenvalue spacing statistics are non-universal. In the other cases, the eigenvalue statistics in the high temperature regime are intermediate between Poisson and G.O.E. (with P(0) of the order of 0.5). In the intermediate temperature regime, the statistics are G.O.E.. In the low temperature regime, the statistics have a peak at s=0. In the low temperature regime, and for disordered systems, the eigenvalues condense around integers, due to the fact that the local field on any spin never vanishes. This property is still valid for the Ising model on the Cayley tree, even if it is not disordered. We also study the spacing between the two largest eigenvalues as a function of temperature. This quantity seems to be sensitive to the existence of a broken symmetry phase.

Résumé
Nous discutons les statistiques d'écart entre valeurs propres de la matrice de Glauber pour différents modèles de mécanique statistique (modèle d'Ising unidimensionnel, modèle d'Ising bidimensionnel, modèle unidimensionnel avec un état fondamental désordonné, modèle SK avec ou sans biais ferromagnétique). La dynamique du modèle d'Ising unidimensionnel est intégrable, et la statistique d'écart entre valeurs propres est non universelle. Dans les autres cas, la statistique de valeurs propres dans le régime haute température est intermédiaire entre la loi de Poisson et la loi G.O.E. (avec P(0) de l'ordre de 0.5). Dans le régime intermédiaire, les statistiques sont G.O.E.. Dans le régime de basses températures, les statistiques présentent un pic pour s=0. A basse température et pour des systèmes désordonnés, les valeurs propres condensent autour des entiers, à cause du fait que le champ local sur aucun spin ne s'annule jamais. Cette propriété est encore vraie pour le modèle d'Ising sur l'arbre de Cayley bien qu'il ne soit pas désordonné. Nous étudions également l'écart entre les deux plus grandes valeurs propres en fonction de la température. Cette quantité semble être sensible à l'existence d'une phase avec brisure de symétrie.