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Numéro
J. Phys. I France
Volume 7, Numéro 3, March 1997
Page(s) 431 - 444
DOI https://doi.org/10.1051/jp1:1997169
DOI: 10.1051/jp1:1997169
J. Phys. I France 7 (1997) 431-444

Convergent Multiplicative Processes Repelled from Zero: Power Laws and Truncated Power Laws

Didier Sornette1, 2 and Rama Cont1

1  Laboratoire de Physique de la Matière Condensée CNRS URA 190, Université des Sciences, BP 70, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2, France
2  Department of Earth and Space Science, and Institute of Geophysics and Planetary Physics, University of California, Los Angeles, California 90095, USA



(Received 2 September 1996, received in final form 12 November 1996, accepted le 20 November 1996)

Abstract
Levy and Solomon have found that random multiplicative processes $w_t =\lambda_1\lambda_2...\lambda_t$ (with $\lambda_j > 0$) lead, in the presence of a boundary constraint, to a distribution P(wt) in the form of a power law $w_t^{-(1+\mu)}$. We provide a simple exact physically intuitive derivation of this result based on a random walk analogy and show the following: 1) the result applies to the asymptotic $(t\rightarrow \infty$) distribution of wt and should be distinguished from the central limit theorem which is a statement on the asymptotic distribution of the reduced variable $\frac{1}{\sqrt t}$(log $w_t - \langle {\rm log}\, w_t\rangle);$ 2) the two necessary and sufficient conditions for P(wt) to be a power law are that $\langle {\rm log}\lambda_j\rangle < 0$ (corresponding to a drift $w_t \rightarrow 0$) and that wt not be allowed to become too small. We discuss several models, previously thought unrelated, showing the common underlying mechanism for the generation of power laws by multiplicative processes: the variable log wt undergoes a random walk repelled from $-\infty$, which we describe by a Fokker-Planck equation. 3) For all these models, we obtain the exact result that $\mu$ is solution of $\langle\lambda^\mu\rangle = 1$ and thus depends on the distribution of $\lambda$. 4) For finite t, the power law is cut-off by a log-normal tail, reflecting the fact that the random walk has not the time to scatter off the repulsive force to diffusively transport the information far in the tail.

Résumé
Levy et Solomon ont montré qu'un processus mutiplicatif du type $w_t =\lambda_1\lambda_2...\lambda_t$ (avec $\lambda_j > 0$) conduit, en présence d'une contrainte de bord, à une distribution P(wt) en loi de puissance $w_t^{-(1+\mu)}$. Nous proposons une dérivation simple, intuitive et exacte de ce résultat basée sur une analogie avec une marche aléatoire. Nous obtenons les résultats suivants: 1) le régime de loi de puissance décrit la distribution asymptotique de wt aux grands temps et doit être distingué du théorème limite central décrivant la convergence de la variable réduite $\frac{1}{\sqrt t}$(log $w_t - \langle {\rm log}\, w_t\rangle)$ vers la loi Gaussienne; 2) les deux conditions nécessaires et suffisantes pour que P(wt) soit une loi de puissance sont $\langle {\rm log}\lambda_j\rangle < 0$ (correspondant à une dérive vers zéro) et la contrainte que wt soit empêchée de trop s'approcher de zéro. Cette contrainte peut être mise en oeuvre de manière variée, généralisant à une grande classe de modèles le cas d'une barrière réfléchissante examiné par Levy et Solomon. Nous donnons aussi un traitement approximatif, devenant exact dans la limite où la distribution de $\lambda$ est étroite ou log-normale en terme d'équation de Fokker-Planck. 3) Pour tous ces modèles, nous obtenons le résultat général exact que l'exposant $\mu$ est la solution de l'équation $\langle\lambda^\mu\rangle = 1$. $\mu$ est donc non-universet et dépend de la spécificité de la distribution de $\lambda$. 4) Pour des t finis, la loi de puissance est tronquée par une queue log-normale due à une exploration finie de la marche aléatoire.



© Les Editions de Physique 1997