Determinantal quantum theory of d.c. electrical conductivity

(Received 22 July 1991, revised 12 December 1991, accepted 24 January 1992)

Abstract
the quantum calculation of the d.c. electrical conductivity for an electron system is reconsidered by using an improved form of the long-time solution of the density matrix. The starting time-evolution equation which is written as a linear system in the Liouville space of discrete quantum states, is first solved in terms of Cramer's determinants and next suitably adapted to tranport problems. The calculation of the statistical average of the many-body current density, in the presence of scattering potential, is carried out in the thermodynamic limit, using a characteristic property of collision matrices introduced earlier by van Hove as the so-called -singularity. In contrast to previous methods based on kinetic equations solved by perturbations, Kubo's theory, or Mori type memory functions, the resolution of an integral equation, initially included in Cramer's formulae, is no longer required. Among its major advantages, the method succeeds in overcoming the well known zero frequency divergent behaviour of the conductivity. It also yields an explicit expression of an effective relaxation time which is just constructed out of those diagonal transition sequences responsible for self-energy effects in van Hove's theory. This expression which only assumes the randomization of phases of initial states can be used to get tractable expansions in powers of the collision potential. Its range of validity is limited by the effect of collisions on equilibrium statistics, which is shown to be negligible within the Peierls criterion, , being the relaxation time and the Fermi energy. Finally, the comparison of the present approach with the elementary transport theory reveals that the relaxation time is close to the standard expression, even though the latter would be exactly recovered, in lowest order of collisions, only on disregarding divergent terms arising beyond second order.

Résumé
Le calcul quantique de la conductivité en courant continu d'un système d'électrons est reconsidéré à l'aide d'une solution améliorée pour la matrice densité. L'équation d'évolution utilisée est d'abord écrite comme un système linéaire dans l'espace de Liouville des états quantiques discrets, résolue à l'aide de déterminants de Cramer et convenablement adaptée ensuite aux problèmes de transport. Le calcul de la moyenne statistique de la densité de courant, en présence d'un potentiel de diffusion, est effectué à la limite thermodynamique, en utilisant une propriété caractéristique des matrices de collision, initialement introduite par van Hove sous le nom de singularité . Contrairement aux méthodes précédentes, basées sur les équations cinétiques résolues par perturbations, la théorie de Kubo, ou l'utilisation de fonctions mémoire de type Mori, la résolution d'une équation intégrale, déjà incluse dans les formules de Cramer, n'est plus nécessaire. Parmi ses autres avantages majeurs, la méthode est capable de résoudre la divergence bien connue de la conductivité lorsque la fréquence tend vers zéro. Elle fournit aussi une expression explicite d'un temps de relaxation effectif, construite précisément à partir des séquences de transitions diagonales responsables des effets de self-énergie dans la théorie de van Hove. Cette expression qui ne suppose que la distribution de phase aléatoire des états d'équilibre initiaux, peut être utilisée pour obtenir des développements maniables en puissances du potentiel de collision. Son domaine de validité n'est limité que par l'effet des collisions sur la statistique d'équilibre, qui se révèle négligeable dans les limites du critère de Peierls , où est le temps de relaxation et l'énergie de Fermi. Finalement, la comparaison avec la théorie élémentaire montre que le temps de relaxation est proche de l'expression classique, mais ne pourrait s'y identifier complètement, à l'ordre le plus bas des collisions, qu'en ignorant les divergences apparaissant au-delà du second ordre.