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Issue
J. Phys. I France
Volume 1, Number 1, January 1991
Page(s) 79 - 95
DOI https://doi.org/10.1051/jp1:1991116
DOI: 10.1051/jp1:1991116
J. Phys. I France 1 (1991) 79-95

Further analysis of the analogy between cellular solidification and viscous fingering

M. Hennenberg and B. Billia

Laboratoire de Physique Cristalline U.R.A. au CRNS n° 797, Faculté des Sciences de St Jérôme, Case 151, 13397 Marseille Cedex 13, France


(Received 8 January 1990, revised 14 September 1990, accepted 21 September 1990)

Abstract
Neglecting capillarity, the analogy between cellular solidification and viscous fingering is revisited in the limit of small Péclet numbers $P_{\lambda}=\lambda/l_{\rm s}$, where $\lambda$ is the periodicity and $l_{\rm s}$ the solutal length. Actually, cellular growth also depends on a second Péclet number $P_{\rm t}$ based on the shift of the tip from the position of the planar front. When $P_{\rm t}$ is small, the analogy with viscous fingering is legitimate which gives an expression for the tip supersaturation $\Omega$ which fits nicely with the available experimental data on succinonitrile-acetone alloys. Neverthless, it turns out that $P_{\rm t}$ is large for real cells which leads us to develop a step-by-step approach, up to the second order in the small parameter $P_{\lambda}$. At the first order, the Brody-Flemings relation for $\Omega$ is recovered but in a rigorous way. The second order results in an integral equation for the profile which is explicitly derived for finite amplitude cells.

Résumé
En l'absence de tension de surface et dans la limite des petits nombres de Péclet $P_{\lambda}=\lambda/l_{\rm s}$, ou' $\lambda$ est la période et $l_{\rm s}$ la longueur solutale, nous réexaminons l'analogie entre la solidification cellulaire et la digitation visqueuse. En réalité, la croissance cellulaire dépend aussi d'un second nombre de Péclet $P_{\rm t}$ basé sur le décalage du sommet par rapport à la position de l'interface plane. Lorsque $P_{\rm t}$ est petit, l'analogie avec la digitation visqueuse s'avère fondée ce qui conduit à une expression de la sursaturation au sommet $\Omega$, qui est en excellent accord avec les données expérimentales disponibles pour les alliages succinonitrile-acétone. De fait, il apparaît que $P_{\rm t}$ est grand pour les cellules réelles ce qui nous amène à développer une approche pas à pas, jusqu'au second ordre en le petit paramètre $P_{\lambda}$. Au premier ordre, nous retrouvons de manière rigoureuse la relation de Brody-Flemings pour $\Omega$. Le second ordre aboutit à une équation intégrale du profil cellulaire, établie de manière explicite dans le cas des cellules d'amplitude finie.



© Les Editions de Physique 1991