On considering the elastic constant table as the matrix of an operator ; consequences in ferroelasticity

A. Bulou

doi:doi:10.1051/jp1:1992220

Numéro		J. Phys. I France Volume 2, Numéro 7, July 1992


Page(s)		1445 - 1460
DOI		https://doi.org/10.1051/jp1:1992220

DOI: 10.1051/jp1:1992220
J. Phys. I France 2 (1992) 1445-1460

On considering the elastic constant table as the matrix of an operator ; consequences in ferroelasticity

A. Bulou

Laboratoire de Physique de l'Etat Condensé CNRS U.R.A. n° 807, Faculté des Sciences, Université du Maine, 72017 Le Mans Cedex, France

(Received 24 December 1991, eccepted in final form 17 March 1992)

Abstract
The consequences of the convention asociated with the contraction of the indices of the elastic constant tensor components C_ijkl are discussed. It is shown that, in order to be handled like the matrix of an operator, the elastic constant table must be written new conventions : $C_{\alpha \beta}^u=C_{ijkl}$ if $\alpha,\,\,\beta=1,\,2,\,3,\,C^u_{\alpha\beta}=\sqrt{2}C_{ijkl}$ if ( $\alpha=1,2,3$ and $\beta=4,5,6$ ), or ( $\alpha=4,5,6$ and $\beta=1,2,3$ ), $C_{\alpha \beta}^u=2C_{ijkl}$ if $\alpha,\beta=4,5,6$ . The $C_{\alpha, \beta}^u$ are the components of a $6\times6$ table [C^u]. Using for the strains $\varepsilon_{ij}$ the convention $u_{\alpha}=\varepsilon_{ij}$ if i=j and $u_{\alpha}=\sqrt{2}\varepsilon_{ij}$ if $i\neq j$ , the usual form $E=\frac{1}{2}C_{\alpha\beta}^u u_{\alpha} u_{\beta}$ for the elastic energy is preserved. It is shown that the terms $\bar C_{\alpha}$ of the elastic energy written in a diagonal form $E=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^6 \bar C_{\alpha }[E_{\alpha}]^2$ (where the $E_{\alpha}$ are the symmetry-adapted strains) are the eigenvalues of the table [C^u] that can be called matrix of the elastic constants : the "eigenvalues" of the elastic constant table defined with the usual conventions do not lead to the right diagonal form in the cases of the teragonal $\frac{4}{{\rm m}}$ , $\bar 4$ , 4 groups and in the cases of the trigonal groups. This result has consequences in the studies of the proper and pseudo-proper ferroelastic phase transitions since they are associated with the softening of one the $\bar C_{\alpha}$ . Some arguments showing the advantage of an extension of the conventions proposed in this paper to other kinds of tensors are given.

Résumé
Les conséquences de la convention associée à la contraction des indices des composantes du tenseur des constantes élastiques C_ijkl sont discutées. On montre que, pour être manipulé comme la matrice d'un opérateur, le tableau des constantes élastiques doit être écrit avec de nouvelles conventions définies par : $C_{\alpha \beta}^u=C_{ijkl}$ si $\alpha,\,\,\beta=1,\,2,\,3,\,C^u_{\alpha\beta}=\sqrt{2}C_{ijkl}$ si ( $\alpha=1,2,3$ et $\beta=4,5,6$ ), ou ( $\alpha=4,5,6$ et $\beta=1,2,3$ ) et $C_{\alpha \beta}^u=2C_{ijkl}$ si $\alpha,\beta=4,5,6$ . Les $C_{\alpha, \beta}^u$ sont les composantes d'un tableau $6\times6~[C^u]$ . En adoptant pour les déformations $\varepsilon_{ij}$ la convention $u_{\alpha}=\varepsilon_{ij}$ si i=j et $u_{\alpha}=\sqrt{2}\varepsilon_{ij}$ si $i\neq j$ on conserve pour l'énergie la forme habituelle $E=\frac{1}{2}C^u_{\alpha\beta}u_{\alpha}u_{\beta}$ . On montre que les valeurs $\bar C_{\alpha}$ permettant d'écrire l'énergie élastique sous une forme diagonale $E=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^6 \bar C_{\alpha }[E_{\alpha}]^2$ (où les $E_{\alpha}$ sont des déformations symétrisées) sont les valeurs propres du tableau [C^u] qui peut ainsi être qualifié de matrice des constantes élastiques ; les "valeurs propres" du tableau des constantes élastiques défini avec les conventions usuelles ne permettent pas d'écrire la forme diagonale correcte dans le cas des groupes quadratiques 4, $\bar 4$ , 4/m et dans les groupes rhomboédriques. Ce résultat a des conséquences dans l'étude des transitions ferroélastiques propres ou pseudo-propres, ces transitions étant associées au ramollissement de l'un des $\bar C_{\alpha}$ . Quelques arguments montrant l'interêt de l'utilisation, pour d'autres types de tenseurs, de la convention de contraction proposée sont présentés.